भारतीय गणिती परंपरा आणि पाश्चात्त्यांना ज्ञानपरंपरेचे वावडे

 

 

 

शालेय वयात गणित शिकताना विविध सिद्धांत, प्रमेये किंवा नियम हे ग्रीक संस्कृतीतील पायथागोरस, युक्लिड यांसारख्या प्राचीन किंवा न्यूटन, पास्कल, फर्मा यांच्यासारख्या अर्वाचीन युरोपीय गणिततज्ज्ञांच्या नावाने आपण शिकतो. गणिताचा इतिहास हा युरोप खंडापुरता मर्यादित असल्याचा आभास आपला पाठ्यक्रम निर्माण करतो. जगातील इतर संस्कृतींनी गणिताचा अभ्यास कधी केलाच नाही का? अशी शंका मनात उत्पन्न होऊ नये, म्हणून ‘भारतीय गणिती’ असे एखादे प्रकरण असते. त्यात काही महत्त्वाच्या गणिततज्ज्ञांची माहिती थोडक्यात असते. परंतु, एक परंपरा म्हणून गणिताचे संशोधन भारतात कशा प्रकारे झाले, त्यांना कोणते गणिती कूटप्रश्न महत्त्वाचे वाटत होते, अन्य जगाशी त्यांचा काही संबंध आला का आणि त्यातून काही ज्ञानाची देवाणघेवाण झाली का, अशा कोणत्याही प्रश्नांची उत्तरे त्यात नसतात. त्यामुळे आपल्याला आर्यभट्ट, भास्कराचार्य अशी नावे तर माहीत असतात. पण, जागतिक गणित परंपरेत त्यांचे स्थान काय, हे आपल्याला नेमके उमगत नाही. या लेखात भारतीय गणिताच्या परंपरेची आणि जागतिक पटलावर गणितातील योगदानाची तोंडओळख आपण करून घेऊ.

 

भारतातील गणिताच्या अभ्यासाची आणि संशोधनाची परंपरा वेदकाळापासून सुरू होते. सहा वेदांगांमध्ये ज्योतिष किंवा गणित सर्वश्रेष्ठ समजले जात असल्याची उक्ती अनेकांच्या परिचयाची असेल. या दोन शाखांमध्ये त्या काळात विशेष भेद केला जात नसे. वेधादि निरीक्षणात्मक भाग आणि ग्रहगतींच्या नियमांचा गणिती भाग हा एकाच वेदांगज्योतिषाचा भाग होता. वेदकाळातील खगोलीय ज्ञानाबद्दल आपण पुन्हा वेगळे पाहू. पण, केवळ गणिताचा विचार केल्यास काही प्रमुख विषय ध्यानात येतात, ज्यामुळे भारतीय समाज तत्कालीन अन्य समाजांपेक्षा वेगळा उठून दिसतो. पहिले म्हणजे, भारतीय अंकांचे ज्ञान आणि विश्वाच्या उत्पत्तीसाठी आपण वापरलेली कालगणना. ‘भारतीय युग संकल्पना’ आणि ‘कल्प संकल्पना’ साधारणपणे १ हजार, ०१२ इतक्या वर्षांच्या कालावधीचा विचार करते. एकपासून सुरू करून दहापटीने वाढत जाणार्‍या क्रमवार संख्यांना भारतीय अंकगणितात नावे वापरलेली आहेत. अंकांचा केवळ उल्लेख या मोठ्या अंकांचे योग्य आकलन तत्कालीन समाजास असल्याची खात्री देऊ शकत नाही. पण, हीच बाब भारतीय गणिताच्या सर्वाधिक महत्त्वाच्या योगदानाची निदर्शक आहे, ती म्हणजे स्थानिक किमतीचा वापर करणारी दशमान अंकगणन पद्धती.

 

अंकांची स्थानिक किंमत आणि मोठे अंक दर्शवण्यासाठी दशमान पद्धती वापरण्याचे महत्त्व किती, हे आपल्याला अन्य अंक पद्धतींशी तुलना केल्याशिवाय लक्षात येणार नाही. रोमन संख्यापद्धतीसारख्या पद्धती या बेरजेवर आधारित आहेत. त्यामुळे त्यात केवळ छोट्या अंकांच्या बेरजा, वजाबाक्या सहजपणे करता येतात. परंतु, गुणाकारासारखी सोपी वाटणारी क्रिया रोमन अंक वापरून करणे, अतिशय कठीण आहे. भारतीय दशमान पद्धत ही बेरीज, गुणाकार आणि घातांक या संकल्पनांच्या समन्वयाने बनलेली आहे. ती समजायला इतकी सोपी आहे की, तिची संकल्पनात्मक क्लिष्टता पटकन आपल्या ध्यानात येत नाही. परंतु, याच गुणधर्मामुळे सर्व गणितीय क्रिया या पद्धतीत सहजपणे करता येतात. भागाकारासारख्या गणिती क्रिया जमल्याशिवाय अपूर्णांक संकल्पना समजत नाही.

 

पूर्णांकांच्या व्यतिरिक्त अन्य संख्यांचे आकलन झाले नसेल, तर बीजगणिताचा विकास संभवत नाही. थोडक्यात, स्थानिक किमतीवर आधारित हिंदू संख्याप्रणालीच्या शिवाय आज दिसणार्‍या विज्ञानाचा विकास अशक्य आहे. याच संकल्पनेचा एक भाग म्हणजे शून्याचा शोध. स्थानिक किंमत पद्धतीत एखाद्या स्थानाचा अभाव दाखवण्यासाठी शून्याचा उपयोग प्रथमतः झाला. पण, नंतरच्या काळात शून्य ही एक स्वतंत्र संख्या आहे, हे लक्षात घेऊन तिचे अंकगणित निर्माण झाले. हिंदू अंकपद्धती अरेबियामार्गे युरोपात पोहोचल्यानंतरही शून्य संकल्पनेचा नीट अर्थ न समजल्याने सुरुवातीच्या काळात त्यांच्या गणितात बर्‍याच चुका असत. उदाहरणार्थ, ५३ आणि ५०३ यातील फरक आज शाळेतल्या मुलालाही कळतो. पण, अनेक मध्ययुगीन युरोपीय गणिततज्ज्ञांना हा फरक नीट कळलेला नव्हता. शून्य संकल्पनेतून स्वाभाविकपणे उद्भवणारी पुढची संकल्पना म्हणजे ऋण संख्या. ब्रह्मगुप्त इसवी सनाच्या सातव्या शतकात ऋण संख्यांच्या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकाराचे नियम सांगतो. पण, अन्य जगात ऋण संख्यांची संकल्पना पोहोचण्यास त्यानंतर न्यूनधिक ५०० वर्षे तरी लागली असावीत, असे दिसते.

 

वेदांगज्योतिषातील दुसरा महत्त्वाचा विषय म्हणजे भूमिती. यज्ञवेदीचा आकार निश्चित करण्यासाठी भूमितीच्या सखोल ज्ञानाची वैदिक ऋषींना आवश्यकता होती. चौरस चितीच्या समान क्षेत्रफळाची वृत्तचिती, श्येनचिती किंवा त्रिकोणचिती कशी बनवावी, याचे तपशीलवार उल्लेख आपल्याला वेदांच्या ‘शुल्बसूत्रे’ या भागात आढळतात. ‘शुल्ब’ म्हणजे दोरी आणि तिच्या साहाय्याने मोजमापे घेऊन भूमितीय आकृत्या काढण्याची सूत्रे म्हणजे ‘शुल्बसूत्रे.’ या सूत्रांमध्ये पायथागोरसचा सिद्धांत म्हणून प्रसिद्ध असलेला काटकोन त्रिकोणाचा सुप्रसिद्ध सिद्धांतही आढळतो. सिद्धांताच्या विधानाचा स्पष्ट उल्लेख आणि सोडवण्याच्या पद्धतींचे विवरण दिलेले असूनही, सिद्धता उपलब्ध नाही, म्हणून हा सिद्धांत ‘बौधायन’ किंवा ‘आपस्तंब’ यांच्या नावाने ओळखला जात नाही, असे आपल्याला सांगितले जाते. मात्र, याची सिद्धता पायथागोरसनेही दिलेली नाही, तर त्याच्यानंतर ३०० वर्षांनी युक्लिडने या सिद्धांताची पहिली सिद्धता दिलेली आहे. दुसरे म्हणजे, संख्यांच्या स्वरूपाबद्दलच्या गैरसमजांमुळे या सिद्धांताच्या केवळ पूर्णांकी उकली ग्रीक गणिततज्ज्ञांनी शोधल्या. भारतात मात्र √२, √३ यासारख्या अपरिमेय संख्यांचाही विचार होऊन त्यांच्या अंदाजे किमती ठरवण्याची सूत्रे शोधली गेली.

 

वेदांगज्योतिषाचा प्राथमिक म्हणता येईल, असा गणितविचारही काळाच्या पुढचा होता. परंतु, त्यानंतर भारतीय गणिताने जी अमूर्त कल्पनांची झेप घेतली, ती एकमेवाद्वितीय अशी आहे. यातील सर्वांत महत्त्वाची शाखा म्हणजे बीजगणित. अंकगणित हा गणिताचा व्यावहारिक अविष्कार आहे. जगाच्या पाठीवरील सर्वच संस्कृतींमध्ये कमीअधिक प्रमाणात अंकगणिताचा विचार झाला आहे. परंतु, त्यापुढे जाऊन गणिती क्रियांमधील अमूर्त आकृतीबंधांचा विचार करायचा असेल, तर बीजगणित अपरिहार्य आहे. इसवी सनाच्या पहिल्या सहस्त्रकात भारतीय गणिततज्ज्ञांनी एकरेषीय समीकरणे, एकरेषीय द्विसमीकरणे, वर्गसमीकरणे अशा विविध प्रकारच्या समीकरणांचा आणि त्यांच्या उकलींचा विचार केला. यात पूर्णांकी तसेच अपूर्णांकी उकली होत्या. तसेच, अपरिमेय उकलींचा अंदाज बांधण्याच्या पद्धती होत्या. या काळात गणित आणि खगोलशास्त्र यांची प्रगती एकत्रच झाली. कित्येक ग्रंथ हे दोन्ही विषयांच्यावर भाष्य करतात. खगोलशास्त्रात आवश्यक म्हणून भारतीय गणितात स्वाभाविकपणे ज्या मिती किंवा त्रिकोणमिती या गणितशाखेचा अभ्यास झाला. ग्रहांची कोनीय अंतरे अचूक मोजण्यासाठी आज आपण ज्याला ‘साईन गुणोत्तर’ म्हणतो, त्याची कुठल्याही कोनासाठी नेमकी किंमत शोधण्याच्या पद्धती आवश्यक आहेत. आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त इत्यादींनी ‘साईन गुणोत्तरा’चे तक्ते आपल्या ग्रंथात दिले आहेत. तसेच तक्त्यात नसलेल्या कोनांकरिता हे गुणोत्तर तक्ता वापरून कसे काढावे, याच्याही पद्धती दिल्या आहेत. दोन कोनांच्या बेरीज व वजाबाकीसाठी sin(A+B)), sin (A-B)साईन गुणोत्तर कसे काढावे, यावर त्या पद्धती आधारित आहेत.

 

बीजगणित, त्रिकोणमिती आणि कोनांच्या फरकासाठी ‘साईन गुणोत्तर’ काढण्याची पद्धत यातून स्वाभाविकपणे पुढे येणारी गणिताची शाखा म्हणजे ‘कलनशास्त्र’ (Calculus). त्रिकोणमितीय फलनांचे कलन आणि विकलन यांचा अभ्यास करून ‘साईन गुणोत्तराचे कलन’ हे ‘कोसाईन गुणोत्तरा’इतके असते, हे भास्कराचार्याने दाखवून दिले होते. त्यानंतरच्या काळातील गणिततज्ज्ञांनी विविध ‘त्रिकोणमितीय फलने’ आणि त्यांची ‘व्यस्त फलने’ (Inverse Functions) यांच्या कलनांचे नियम शोधले. त्याचबरोबर वर्तुळाचे, गोलाचे वा अन्य वक्ररेषांचे क्षेत्रफळ आणि घनफळाचे नियम विकलन सिद्धांताच्या वापराने भारतीय गणिततज्ज्ञांनी या काळात शोधले. या सर्व संशोधनासाठी आवश्यक म्हणजे, ‘पाय’ या संख्येची किंमत. भारतीय गणिततज्ज्ञांनी ‘पाय’च्या अधिकाधिक अचूक किमतीसाठी नवनवीन सूत्रे सतत सांगितली आहेत. ही किंमत ठरवताना आज ज्याला कलनशास्त्रात ‘टेलर श्रेणी’ म्हणतात, त्या संकल्पनेचा वापरही आढळतो.

 

सर्वसाधारणपणे आपल्याला ज्ञात असलेले आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य हे गणिती याच कालखंडात होऊन गेले. परंतु, ही काही एकांड्या गणिततज्ज्ञांची कथा नसून, एकामागोमाग एक सतत येणार्‍या नवनवीन गणिततज्ज्ञांची समृद्ध परंपरा आहे. पाचव्या शतकातील आर्यभट्ट या माळेतला पहिला गणिती धरला, तर शेवटचा नीलकंठ सोमयाजी हा १५व्या शतकात झाला आहे. म्हणजे, हा कालखंड साधारण एक सहस्त्र वर्षांचा भरतो. भारतीय गणिताचा परिचय याच काळात पर्शियन व्यापार्‍यांच्या मार्फत युरोपला झाला. अल-ख्वारिझ्मी याने केलेले ब्रह्मगुप्ताच्या ग्रंथांचे अरबी भाषांतर साधारण १२व्या शतकात युरोपात पोहोचले. हिंदू दशमान पद्धती सुरुवातीस युरोपीय गणिततज्ज्ञांनी त्याज्य मानली होती. परंतु, त्यांच्या व्यापारी वर्गास त्याचे महत्त्व पटले होते आणि त्यांनी ती लगेच अंगीकारली. या ‘अल-ख्वारिझ्मी’च्या पुस्तकाच्या लॅटिन भाषांतराचे नाव ‘अल्गॉरिथ्मचे हिंदू अंकांचे पुस्तक’ असे होते. यातील ‘अल्गॉरिथ्म’ हा शब्द आज सुपरिचित आहे. पण, ‘अल-ख्वारिझ्मी’चे मूळ पुस्तक अरबी असल्याने या अंकपद्धतीला ‘अरबी अंक’ असे संबोधले जात असे. आज अनेक पुराव्यांच्या नंतरही केवळ ‘हिंदू-अरेबिक अंकपद्धती’ अशीच या पद्धतीची ओळख आहे. याच पर्शियन गणिती भाषांतरकारांनी भारतीय बीजगणित युरोपात नेले, ज्यामुळे आजही बीजगणितासाठी ‘अल-जब्र’ या अरबी शब्दावरून ‘अल्जेब्रा’ हा शब्द वापरला जातो.

 

भारतीय गणिताच्या परंपरेला योग्य ते स्थान गणिताच्या इतिहासात न देणे हे वसाहतवादी भूमिकेचे एक अलिखित धोरण होते. किंबहुना, युरोपीय वंशश्रेष्ठत्वाच्या सिद्धांतात जगात अन्य कोठेही काही महत्त्वाचे संशोधन झाले हे नामंजूरच होते. त्यामुळे अनेक ज्ञात जुन्या सिद्धांतांना युरोपीय गणिततज्ज्ञांची नावे दिलेली आपण पाहतो. त्यातच भारतावर सतत झालेल्या मुसलमान आक्रमकांच्या स्वार्‍यांना ज्ञानपरंपरेचे वावडेच होते. त्यामुळे नालंदा, विक्रमशिला, वल्लभी, शारदा अशा अनेक विद्यापीठांच्या विध्वंसाबरोबरच त्यातील किती ग्रंथ जाळले गेले, याची गणनाच नाही. तरीही उपलब्ध साधनांच्या आधारे भारतीय गणिताच्या प्रगतीचा इतिहास आजच्या समाजासाठी गौरवशाली आहे. संपूर्ण मानवसमाज म्हणून केलेल्या आजच्या वैज्ञानिक प्रगतीमध्ये भारतीय गणिततज्ज्ञांचा मोलाचा वाटा आहे आणि यापुढील वाटचालीसाठी त्यांचे गणित आणि विज्ञानविषयक दृष्टिकोन उपयुक्त ठरू शकतात, ही जाणीव समाजाचे आत्मभान जागृत करण्यात महत्त्वाची आहे.